本题考查的是函数的连续性和可导性。首先，由于g(x)在x=0处定义为0，且当x不等于0时，g(x) = x^2 * sin(1/x)，显然当x趋近于0时，g(x)趋近于0，因此g(x)在x=0处连续。选项C正确。选项A和B需要判断g(x)在x=0处的导数是否存在。由于sin(1/x)的振荡，g'(x)在x=0处不存在，因此选项A错误，选项B正确。选项D是错误的，因为虽然g(x)在x=0处连续，但题目没有提供足够信息判断其极限。