本题考察的是一阶微分方程的解的存在性和唯一性定理。根据皮卡-林德勒夫定理，如果 f(y, x) 在某个区域内连续，并且对 y 满足利普希茨条件，则在该区域内存在唯一解。因此，选项 A 是正确的。选项 B 和 C 可能会引起误解，因为在连续性和唯一性条件下，解的存在性是保证的。选项 D 也不符合定理的要求，因为解的唯一性是针对整个区域的，而不仅仅是初始条件附近。