根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。因此，选项A是正确的。选项B错误，因为罗尔定理不直接涉及二阶导数。选项C错误，因为f(0)=f(1)=1，并不意味着存在c使得f(c)=0。选项D错误，因为罗尔定理不涉及f'(c)=f''(c)的情况。