本题考察了积分函数的性质及其导数的关系。选项A是正确的，因为g(0) = ∫[0, 0] f(t) dt = 0。选项B是正确的，g(1) = ∫[0, 1] f(t) dt符合定义。选项C是正确的，依据微积分基本定理，g'(x) = f(x)几乎处处成立。选项D是错误的，因为g(x)是由f(x)的积分定义的，若f(x)在[0, 1]上为非负且单调递增，则g(x)应为单调递增。因此，选项D是错误的。