本题考察代数扩域的性质。若L是K的代数扩域，且L的每个元素都是K的代数元素，则L可能是K的代数闭域，但不一定是有限扩域。选项A错误，因为L不一定是有限扩域。选项B正确，因为代数扩域的定义要求所有元素都是代数元素。选项C错误，因为有理闭域是指所有有理数多项式都有根的扩域。选项D错误，因为超越扩域包含超越元素，而本题中所有元素都是代数元素。正确答案是B。