已知三阶矩阵 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3，且满足 λ1 + λ2 + λ3 = 0，λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 = -1，求 A 的行列式 det(A) 的值。
答案解析
根据特征值的性质，行列式 det(A) 等于特征值的乘积，即 det(A) = λ1 * λ2 * λ3。由 λ1 + λ2 + λ3 = 0 可得 λ3 = -λ1 - λ2。将其代入 λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 = -1，得到 λ1λ2 - λ1λ2 - λ2^2 - λ1^2 = -1，进一步化简可得 λ1^2 + λ2^2 = 1。结合 λ1 * λ2 = -1，最终可得 det(A) = λ1 * λ2 * λ3 = λ1 * λ2 * (-λ1 - λ2) = -λ1^2 * λ2 - λ1 * λ2^2 = 1，因此 det(A) = -1。
正确答案：C