设函数φ(x)=e^{-x²}∫₀ˣ e^{t²}f(t)dt，其中f(x)连续可导且f(0)=1。当φ'(x)=0时，f(x)满足什么微分方程？
答案解析
核心考点：变上限积分求导与微分方程建立
解题思路分析：
1. 计算φ'(x)使用乘积法则：
φ'(x) = d/dx[e^{-x²}]·∫₀ˣ e^{t²}f(t)dt + e^{-x²}·d/dx[∫₀ˣ e^{t²}f(t)dt]
2. 展开求导：
= -2xe^{-x²}∫₀ˣ e^{t²}f(t)dt + e^{-x²}·e^{x²}f(x)
3. 化简得：φ'(x) = -2xφ(x) + f(x)
4. 令φ'(x)=0得：f(x) = 2xφ(x)
5. 将φ(x)表达式代入并化简得微分方程：f'(x) + 2xf(x) = 0
选项分析：
A. 正确（经完整推导）
B. 符号错误
C. 错误次数项
D. 函数关系错误
易错点：容易在导数的乘积法则中遗漏负号或系数
正确答案：A