本题考查的是绝对值函数的性质。函数m(x) = |x|在x=0处连续，因为左右极限都等于0，且函数值在x=0处也是0。因此，选项C正确。选项A是错误的，因为m(x)在x=0处的导数不存在，因为左导数和右导数不相等。选项B正确，因为m(x)在x=0处确实不可导。选项D是错误的，因为虽然m(x)在x=0处连续，但题目中的'有极限'表述不准确，因为m(x)在x=0处的极限就是函数值本身。