核心考点说明：本题考察的是复变函数中解析函数的性质，特别是模为常数的解析函数的性质。解题思路分析：根据复变函数的理论，如果一个函数在某个区域内解析，并且在该区域内其模为常数，那么这个函数在该区域内必定是常数函数。这是因为如果f(z)不是常数函数，那么根据最大模原理，f(z)的模不可能在整个区域内为常数。因此，选项A正确。选项B、C和D都不正确，因为我们已经确定了f(z)必须是常数函数。易错点提醒：容易误认为模为常数的解析函数可能是线性函数或多项式函数，这是不正确的。