本题考察极值的必要条件。根据极值的必要条件，函数在极值点的偏导数必须为零，因此选项A是必要条件。选项B错误，因为仅有一个偏导数为零不足以保证极值。选项C虽然偏导数存在是一个必要条件，但并不充分，因此不符合题意。选项D虽然二阶偏导数存在是判断极值的充分条件，但不是必要条件。因此，正确答案为A。