本题考察拉格朗日中值定理的应用及其对函数导数性质的推导。根据定理，若 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续且可导，且 f(a) = f(b)，则存在 c ∈ (a, b) 使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0。因此，选项 A 是正确的。选项 B 错误，因为 f'(x) 不一定在整个区间上恒为零。选项 C 和 D 也不符合条件，因为没有信息支持 f'(x) 的单调性或不为零的结论。