核心考点说明：本题考察罗尔定理、拉格朗日中值定理以及导数和函数单调性、极值的关系。需要深入理解定理的条件和结论，以及这些定理在实际解题中的应用。 解题思路分析：首先判断是否满足罗尔定理的条件，然后考察导数与函数单调性的关系，最后考察极值存在的充分条件。 选项分析： - A. 正确。因为f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a) = f(b)，满足罗尔定理条件，所以一定存在一点c ∈ (a,b)，使得f'(c) = 0。 - B. 错误。在(a,b)内，f'(x)>0，只能说明f(x)在(a,b)内单调递增，不能说明在[a,b]递增。在[a,b]上递增的要求为f(x)在[a,b]上连续，且(a,b)内f'(x)>0，或者 f'(x)>=0且导数为0的点在[a,b]上是有限个孤立点。 - C. 错误。存在一点c使得f'(c) = 0，是极值存在的必要条件而不是充分条件，还需要考察c点两侧导数的符号是否发生改变。 - D. 错误。拉格朗日中值定理的结论是存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)。本题中 f(a)=f(b)=0，所以是0= f'(c)(b-a)，而不是存在c满足该等式，该选项等式始终成立。 易错点提醒：罗尔定理要求函数在闭区间连续，开区间可导，且端点值相等；极值存在的条件是一阶导数为0且导数符号发生改变。 正确答案的关键依据：选项A的描述满足罗尔定理的所有条件