设函数 f(x) 在 x = a 处可导,且存在常数 M>0,使得 |f'(x)| <= M 对任意 x 成立。若已知 f(a) = b,则下列关于 f(x) 的描述中,最准确的是:

答案解析

核心考点说明:本题考察导数的几何意义、可导函数的性质以及中值定理的应用。难点在于理解导数的有界性和函数整体性质的关系。 解题思路分析:题干给出了函数 f(x) 在 x=a 处可导,且导数绝对值有界。这意味着导数的取值有限制,可以利用中值定理进行分析。由拉格朗日中值定理可知,对于任意 x,存在 ξ 介于 x 和 a 之间,使得 f(x) - f(a) = f'(ξ) (x-a)。 每个选项的详细分析: - A选项:f(x) 在整个定义域上单调递增。导数有界并不意味着导数恒为正,因此无法得出函数在定义域上单调递增的结论。例如f'(x)可能在某些区间为正,在另一些区间为负,所以A选项错误。 - B选项:f(x) 在 x = a 的某个邻域内单调递增。和A选项类似,导数有界并不意味着邻域内单调递增。所以B选项错误。 - C选项:对于任意 x,都有 |f(x) - b| <= M|x-a|。由拉格朗日中值定理,f(x) - f(a) = f'(ξ)(x-a) 。 两边取绝对值,得到 |f(x) - f(a)| = |f'(ξ)||x-a|。因为 |f'(x)| <= M 对任意 x 成立,所以 |f'(ξ)| <= M。因此 |f(x) - f(a)| <= M|x-a|。由于f(a) = b,所以|f(x) - b| <= M|x-a|,所以选项C正确。 - D选项:f(x) 在 x = a 处连续但不可导。题目中已明确指出 f(x) 在 x = a 处可导,因此选项D错误。 易错点提醒:易错点在于误解导数有界等同于函数单调性,或者混淆可导和连续的概念。 正确答案的关键依据: 使用拉格朗日中值定理和导数有界的条件,进行不等式的推导。 错误选项的具体问题:A和B选项错误在于把导数有界理解为函数单调性,D选项错误在于和题设矛盾。
正确答案:C
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