设随机变量 X₁, X₂, …, Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的简单随机样本,X̄ 为样本均值,S² 为样本方差。若已知统计量 (X̄ - μ) / (S / √n) 服从 t 分布,则下列关于该 t 分布的自由度的说法,哪个是正确的?
答案解析
核心考点说明:本题考察样本均值与样本方差构成的统计量所服从的 t 分布的自由度。重点在于理解 t 分布的构造,以及如何从样本中获取自由度的信息。
解题思路分析:当总体方差未知时,我们使用样本方差S²来估计总体方差,由此构造的统计量(X̄ - μ) / (S / √n) 服从 t 分布。t 分布的自由度来自于样本方差的自由度,而样本方差S²的自由度为 n-1。
每个选项的详细分析:
A. 错误。t 分布的自由度不是样本容量 n,而是样本容量减 1。
B. 正确。当总体方差未知时,用样本方差 S² 估计总体方差,得到的 (X̄ - μ) / (S / √n) 服从自由度为 n-1 的 t 分布。
C. 错误。t 分布的自由度不等于 n+1。
D. 错误。t 分布的自由度也不等于 2n。
易错点提醒:考生容易混淆 t 分布与标准正态分布,以及混淆自由度 n 与 n-1 的概念。关键在于理解使用样本方差带来的自由度损失。
正确答案:B