在此题中，考察的是对积分的变量替换及其对积分表达式的影响。通过变量替换 \( u = x^2 \)，我们有 \( du = 2x \, dx \) 或 \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \)。当 \( x = 0 \) 时，\( u = 0 \)；当 \( x = 1 \) 时，\( u = 1 \)。因此，原积分变为：\( I = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{u^{1/2}}{\sqrt{1-u^2}} \, du \)。