这道题目考察的是函数连续性的基本概念。根据连续性的定义，如果一个函数在某点的极限存在且等于该点的函数值，那么这个函数在该点是连续的。因此，正确答案是B。选项A和C虽然与函数的性质有关，但它们描述的是函数的可导性和可微性，与题目描述的条件不符。选项D描述的是函数的有界性，这与函数的连续性没有直接关系。