核心考点说明：本题考察函数导数的定义和极限的计算。难点在于理解在分段点求导数必须使用导数定义，不能直接使用求导法则。 解题思路分析：根据导数的定义，函数 f(x) 在 x = 0 处的导数 f'(0) = lim(x→0) [f(x) - f(0)] / (x - 0)。已知 f(0) = 0，所以 f'(0) = lim(x→0) f(x) / x。我们需要计算这个极限。 每个选项的详细分析： - A选项：0。将函数表达式代入定义式，得到 f'(0) = lim(x→0) [x²sin(1/x)] / x = lim(x→0) xsin(1/x)。由于 |sin(1/x)| <= 1，所以 |xsin(1/x)| <= |x|。当 x 趋近于 0 时，|x| 也趋近于 0，所以根据夹逼定理，lim(x→0) xsin(1/x) = 0。因此，f'(0) = 0。此选项正确。 - B选项：1。该选项错误，原因已经分析。正确答案是0。 - C选项：不存在。由A选项的分析可知极限存在且等于0，因此选项C错误。 - D选项：2. 选项错误,原因已分析。正确的答案是0。 易错点提醒：易错点在于直接对 x²sin(1/x) 使用求导法则，然后代入 x = 0 计算，这是错误的，因为该函数在 x=0 处的导数必须使用导数定义计算。另外，容易忽略极限 lim(x→0) xsin(1/x) 的计算方法，以及夹逼定理的运用。 正确答案的关键依据: 必须使用导数的定义来计算 f'(0)，并通过夹逼定理计算极限。 错误选项的具体问题： B，C, D选项错误在于对求导数的定义理解不到位，未能运用定义式准确计算。