解析：根据介值定理，f(x)在[0, 1]上连续且f(0) < 0 < f(1)，因此至少存在一个点c使得f(c) = c。由于f(x)为单调递增函数，若存在两个点c1和c2使得f(c1) = c1和f(c2) = c2，则在c1和c2之间必有一个点d使得f(d) = d，这与单调性矛盾。因此，c的个数只能是1个。选项A错误，因为至少存在一个解。选项C和D错误，因为不可能有多个解。易错点在于对单调性与解的个数的理解。