函数$f(x) = ax^2 + bx + c$是一个二次函数，其开口方向由系数$a$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上，有最小值；当$a < 0$时，开口向下，有最大值；当$a = 0$时，函数退化为一次函数，无最值。因为题目中提到在$x=1$处取得最小值，所以$a$必须大于0。选项B错误，因为它表示函数有最大值。选项C错误，因为一次函数无最值。选项D错误，因为$a$不能为负值。核心考点是二次函数的性质。